Richiami sugli spazi di Hilbert. La trasformata di Fourier. Equazioni differenziali lineari. L'equazione di Bessel. Funzioni di Bessel. Distribuzioni. la distribuzione delta. Trasformata di Fourier e Laplace nello spazio delle distribuzioni.
0) Appunti delle lezioni.
1) M. Marini "Metodi Matematici per lo studio delle reti elettriche", Ed. Cedam, 1999.
2) G.C. Barozzi "Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione", Ed. Zanichelli 2001.
3) A.N.Kolmogorov-S.V.Fomin "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi reale", Ed. Mir ,1980.
4) L.Amerio "Analisi Matematica: Metodi Matematici e Applicazioni" , Vol.3-II, Ed. UTET, 1992.
5) G. Gilardi " Analisi tre", Mc Graw-Hill, 1995
6) M. Codegone "Metodi Matematici per l'Ingegneria", Ed. Zanichelli, 1995.
Obiettivi Formativi
Approfondire la preparazione su alcuni aspetti dell'analisi matematica e dell'analisi funzionale
Prerequisiti
Conoscenza dei tradizionali argomenti dei corsi di Analisi Matematica di base, del corso di Metodi Matematici e della teoria delle funzioni di variabile complessa
Metodi Didattici
Il corso consiste in circa 48 ore di lezione, suddivise in teoria e esercitazioni. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove intermedie.
Altre Informazioni
Durante lo svolgimento delle lezioni vengono distribuiti esercizi di verifica e materiale accessorio. Le tracce delle lezioni saranno inserite in rete all'indirizzo http://www.unifi.it/detmod
Modalità di verifica apprendimento
La prova finale e' composta da una prova scritta e una orale. La prova orale consiste in una discussione sulla prova scritta e un colloquio su un argomento del corso, scelto dallo studente.
Programma del corso
1) COMPLEMENTI SULLA TRASFORMATA DI FOURIER.
Il concetto di norma. Spazi metrici e normati. Esempi: gli spazi L^1 e L^2 . La trasformata di Fourier in L^1. Richiami sulle principali proprieta’ (smorzamento, traslazione, omotetia, moltiplicazione, derivazione). Il concetto di valore principale e suo ruolo nella antitrasformata. Convergenza a zero della trasformata e applicazioni alla trasmissione di segnali. Il teorema di Plancherel. Estensione della trasformata allo spazio L^2 . Analogie e differenze con la trasformata in L^1. La proprietà di simmetria, conseguenze e applicazioni.
2) FUNZIONI DI TRASFERIMENTO E ANTITRASFORMATE
La trasformata di Laplace nell’analisi e sintesi di sistemi tempo-invarianti. Relazione con la trasformata di Fourier. Il prodotto di convoluzione. Funzioni di trasferimento e funzioni razionali. Il lemma di Jordan. Le formule di inversione di Riemann-Fourier e di Bromwich-Mellin. Calcolo dell’antitrasformata di Fourier e di Laplace nel caso razionale mediante la teoria dei residui.
3) APPLICAZIONI ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Richiami sulle proprietà delle soluzioni di equazioni differenziali lineari. Esempi di studio qualitativo: l’equazione monodimensionale di Schroedinger. Il problema delle dinamiche oscillatorie. I teoremi di Sturm e di Leigthon. L'equazione differenziale di Bessel. Le funzioni di Bessel di prima e di seconda specie. La funzione Gamma Euleriana e sue proprieta’. Formule di ricorrenza. Cenno sulle funzioni di Hankel.
4) DISTRIBUZIONI
Introduzione euristica alla "funzione" delta. Le distribuzioni come funzionali lineari e continui. Proprietà della distribuzione delta. Prodotto di distribuzioni. Derivata nel senso delle distribuzioni. Funzioni a decrescenza rapida. Distribuzioni temperate. La trasformata di Fourier nel senso delle distribuzioni. Trasformate di Fourier delle funzioni a crescita lenta. La distribuzione v.p. (1/t). Trasformate di Laplace di distribuzioni. Il caso razionale. Il teorema della derivazione nel senso delle distribuzioni per la trasformata di Laplace. Serie di distribuzioni.